Постскриптум

Постскриптум

Израиль Розенфельд, прочитав рукопись этой главы, рассказал мне о высших разделах арифметики, в которых некоторые операции выполнять проще, чем привычными способами. Он также поинтересовался, не связаны ли особые способности близнецов (и пределы этих способностей) с использованием такой «модулярной» арифметики. В письме ко мне он высказал предположение, что календарные таланты близнецов могут объясняться специальными модулярными алгоритмами, описанными в книге Яна Стюарта «Концепции современной математики» (1975). Вот выдержка из этого письма:

Их способность определять дни недели в пределах восьмидесяти тысяч лет предполагает довольно простой алгоритм. Нужно разделить число дней между «сейчас» и «тогда» на семь[136]. Если делится без остатка, это тот же день недели, что и сегодня. Если в остатке единица, то это на день позже и т. д. Заметьте, что модулярная арифметика циклична, она основана на повторении комбинаций. Возможно, близнецы могли видеть эти комбинации – либо в форме легко конструируемых диаграмм, либо как своего рода «ландшафт», спираль из целых чисел, напоминающую рисунок на 30-й странице книги Стюарта.

Это не объясняет, почему близнецы пользуются языком простых чисел, но здесь возможно следующее: календарная арифметика основана на простом числе семь, и если думать о модулярной арифметике вообще, то деление в ней дает элегантные циклические комбинации только для простых чисел. Поскольку число семь помогает близнецам восстанавливать даты, а вместе с ними конкретные события их жизни, они могли обнаружить, что другие простые числа производят комбинации, похожие на те, которые так важны для актов воспоминания. (Когда они говорят о спичках «111 – трижды 37», заметьте, что они берут простое число 37 и умножают его на три). Возможно, только простые числа могут быть «увидены».

Разнообразные сочетания чисел (например, таблицы умножения) могут быть блоками визуальной информации, которой обмениваются близнецы, называя то или иное простое число. Короче говоря, модулярная арифметика помогает им восстанавливать прошлое, и поэтому комбинации, возникающие при таких вычислениях и возможные только при использовании простых чисел, скорее всего, имеют для близнецов особое значение.

Ян Стюарт в своей книге отмечает, что, пользуясь модулярной арифметикой, можно быстро получать ответ в ситуациях, когда обычная арифметика не работает, – в особенности применяя к большим, не вычислимым традиционными способами простым числам так называемый принцип «зайцев и клеток»[137].

Если такие методы и являются алгоритмами, то алгоритмы эти очень необычны. Они организованы не алгебраически, а пространственно, как деревья, спирали, архитектурные и ментальные конструкции – конфигурации в формальном (но чувственно воспринимаемом) внутреннем пространстве.

Замечания Израиля Розенфельда и модулярная арифметика Яна Стюарта показались мне многообещающими. Они открывают возможность если не «решить» загадку близнецов, то, по крайней мере, пролить свет на их необъяснимые способности.

Начала высшей арифметики (теории чисел) были заложены Гауссом в 1801 году в книге «Арифметические исследования», но на практике эта теория стала применяться совсем недавно. Возникает вопрос: а не существует ли наряду с обычной арифметикой операций – трудной для изучения и часто вызывающей раздражение и учеников, и преподавателей – другой, глубокой арифметики, сходной с тем, что описал Гаусс? Нет ли в нас такой же врожденной и естественно присущей мозгу арифметики, как «глубокий» синтаксис и порождающая грамматика Хомского[138]? Если подобная арифметика существует, то в наших близнецах мы видим ее Большой Взрыв – живые созвездия чисел, ветвящиеся числовые галактики в бесконечно расширяющемся космосе сознания.

Я уже отмечал, что после публикации «Близнецов» я получил огромное количество писем – как личных, так и научных. Некоторые из них касались вопросов об однояйцовых близнецах, другие – способов чувственного восприятия чисел и смысла и значения этого явления. Были и письма, посвященные способностям и психологии аутистов, а также методам их воспитания и обучения. Особенно интересными оказались письма от родителей таких детей. В моей корреспонденции попадались редкие, замечательные послания от тех, кого болезнь ребенка заставила обратиться к литературе и начать самостоятельные исследования. Эти люди сумели соединить глубокие эмоции и личную вовлеченность с абсолютной объективностью. К ним принадлежит чета Парк, удивительно одаренные родители аутичной девочки-вундеркинда по имени Элла[139]. Дочь их замечательно рисовала, а в ранние годы обладала и выдающимися арифметическими способностями. Ее занимали «порядки» чисел, особенно простых. Такое специфическое ощущение простых чисел, судя по всему, не столь уж редко. Миссис Парк написала мне еще об одном известном ей аутичном ребенке, который «навязчиво» исписывал листы бумаги числами. «Все эти числа были простые, – замечает она. – Простые числа – окно в другой мир». Позже я узнал от нее об аутичном юноше, который также увлекался множителями и простыми числами и немедленно замечал их «особость». Если его, к примеру, спрашивали: «Джо, нет ли чего-нибудь особенного в числе 4875?» – он отвечал: «Оно делится только на 13 и 25».

О числе 7241 он тут же говорил: «Оно делится на 13 и 557», а о числе 8741 – что оно простое. «Никто в его семье, – подчеркивала миссис Парк, – не поддерживает одинокой страсти Джо к простым числам».

Как в таких случаях удается дать мгновенный ответ, непонятно. Есть несколько возможностей: множители вычисляются, запоминаются или каким-то образом просто «наблюдаются». Но каким бы способом человек ни находил ответ, наличие своеобразного чувства важности простых чисел и наслаждения от них отрицать не приходится. Отчасти это имеет отношение к восприятию формальной красоты и симметрии, отчасти же – к ощущаемым в простых числах «смыслу» и «скрытой силе». Элла часто называла эти числа волшебными: они вызывали в ней такие особенные чувства, мысли и ассоциации, что она об этом почти никому не рассказывала. Все это хорошо описано в статье ее отца, Дэвида Парка.

Курт Гедель[140] на самом общем уровне обсуждает, как числа, особенно простые, могут служить «метками» идей, людей, мест и т. д. Судя по всему, эта геделевская маркировка есть промежуточный шаг к общей «арифметизации» и «нумерации» мира[141]. Если предположить, что такая гипотеза верна, близнецы и им подобные живут не в изолированном мире чисел, но – естественно и свободно – в реальном мире, лишь представленном в числовой форме. И если к этой форме, к этому шифру удается подобрать ключ (как случается иногда Дэвиду Парку), числа становятся удивительным и точным языком для общения с обитателями этого мира.